积分常数是（英语：Constant of integration）指在微积分中，函数的不定积分表示式中会出现的一个待定常数，一般会用C表示，一函数的反导数有无穷多个，但其中除了积分常数不同外，其余部分均相同[1][2][注 1]。
目录
1 简介
2 积分常数的必要性
3 不同反导数之间只差一个常数的原因
4 注释
5 参考资料
简介
任何常数函数的导数均为零，因此只要发现一个函数的反导数
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
，因为
(
F
(
x
)
+
C
)
′
=
F
′
(
x
)
+
C
′
=
F
′
(
x
)
{\displaystyle (F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)}
，加上或减去一常数C后的函数也是反导数，积分常数可用来表示任何函数均有无限个不同的反导数。
例如，假设需要求得
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
的反导数，
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
、
sin
(
x
)
+
1
{\displaystyle \sin(x)+1}
及
sin
(
x
)
−
π
{\displaystyle \sin(x)-\pi }
的导数都是
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
，因此都是
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
的反导数。
同一个函数可以有许多的反导数，而这些反导数之间只相差一个常数，因此若要列出
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
所有的反导数，可以用以下的通式：
∫
cos
(
x
)
d
x
=
sin
(
x
)
+
C
.
{\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}
C即为积分常数，利用下式可以确认这些函数的确都是
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
的反导数：
d
d
x
[
sin
(
x
)
+
C
]
=
d
d
x
[
sin
(
x
)
]
+
d
d
x
[
C
]
=
cos
(
x
)
+
0
=
cos
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}
若利用线性代数的描述方式，微分算子可将k+1维的向量映射到k维的空间中，因此其反运算（积分）会多一个待确定的条件[3]。
积分常数的必要性
积分常数可以设为0，而且利用微积分基本定理计算定积分时，积分常数会互相抵消，积分常数看似没有必要。
不过试图将积分常数设为0的作法不一定合理，例如
2
sin
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}
可以用以二种方式积分：
∫
2
sin
(
x
)
cos
(
x
)
d
x
=
sin
2
(
x
)
+
C
=
−
cos
2
(
x
)
+
1
+
C
∫
2
sin
(
x
)
cos
(
x
)
d
x
=
−
cos
2
(
x
)
+
C
=
sin
2
(
x
)
−
1
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C\end{aligned}}}
即使将C设为0，仍然有些积分表示式中会出现常数，也就是说有些函数不存在一种最简单的反导数。
使用积分常数的另一个原因，是有时会需要反导数在特定点为某特定值，就像是初值问题的情形一様。例如要求出
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
的反导数，且x = π时的值为100，此时C只有一个数值才能满足此条件（此例中C = 100）。
上述限制可以用微分方程的形式来描述：求解一个函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的反导数也就是求解微分方程
d
y
d
x
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}
。任何微分方程都有许多的解，每一个解都是一个良态初值问题的唯一解。上一段的问题中x = π时的值为100即为初始条件。每一个初值问题对应一个唯一的C值，若没有积分常数C，许多初值问题就无法求解。
不同反导数之间只差一个常数的原因
原因可以用以下定理来表示：令
F
:
R
→
R
{\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
及
G
:
R
→
R
{\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
为二个处处可微的函数。假设对于所有的实数x，
F
′
(
x
)
=
G
′
(
x
)
{\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}
都成立，则存在一实数C使得对于所有的实数x，
F
(
x
)
−
G
(
x
)
=
C
{\displaystyle F(x)-G(x)=C}
皆成立。
若要证明此式，由于
[
F
(
x
)
−
G
(
x
)
]
′
=
0
{\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0}
，因此以下用F-G来代替F，而用常数函数0来代替G，待证明为一个处处可微，导数恒为0的函数一定是常数：
选择一实数a，令
C
=
F
(
a
)
{\displaystyle C=F(a)}
。针对任意的x，依照微积分基本定理可得
∫
a
x
0
d
t
=
F
(
x
)
−
F
(
a
)
=
F
(
x
)
−
C
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}}
因此可得
F
(
x
)
=
C
{\displaystyle F(x)=C}
，因此F为常数函数。
证明过程中，有二个条件相当重要。首先，实数数线为连通空间，若实数数线不是连通空间，就无法从固定的a点积分到任意的x点。例如一函数只在[0,1]及[2,3]的区间有定义，而a为0，因为函数在1到2之间没有定义，不可能从0积分到3。此时会有二个常数，分别对应定义域中的二个连通空间。一般而言，若将常数改为局部常数函数（英语：locally constant function）s，可以将此定理延伸到不连通的空间中。例如
∫
d
x
/
x
{\displaystyle \textstyle \int dx/x}
有二个积分常数，而
∫
tan
x
d
x
,
{\displaystyle \textstyle \int \tan x\,dx,}
有无限个积分常数。1/x积分的一般式为：[4]
∫
1
x
d
x
=
{
ln
|
x
|
+
C
−
x
<
0
ln
|
x
|
+
C
+
x
>
0
{\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}
再者，F和G的条件需是处处可微的函数，若F及G在某一点不可微，则以上定理不成立。例如令
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
单位阶跃函数，在x负值时为0，在x非负时为1，令
G
(
x
)
=
0
{\displaystyle G(x)=0}
。F在有定义导数的区域，其导数为0，G的导数恒为0，但F及G不只差一个常数而已。
甚至假设F及G为处处连续，几乎处处可微，则以上定理仍然不成立。康托函数和常数函数0就是这样的例子。
注释
^ 积分常数表示在反导数本身有一些模棱两可之处。若针对函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，而
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的一个反导数，则函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的所有反导数可以用
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle F(x)+C}
来表示，其中C为任意值。有些积分表为了简单起见，会省略不定积分的积分常数。
参考资料
^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. Calculus 9th. Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4.
^ Albert Tarantola, "Inverse Problems: Exercices. Chapter 8: The Derivative Operator, its Transpose, and its Inverse", 12 March 2007
^ "Reader Survey: log|x| + C （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012